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Fractale de Mandelbrot

Le 18-12-2010. Mise à jour le 28-06-2014: séparation de cet article avec celui de l'introduction aux fractales.
Dernière mise à jour le 15-11-2014.

On trouvera ici une activité de découverte de la fractale de Mandelbrot, prévue pour des élèves de lycée en filière scientifique. Il s'agit de comprendre comment on a construit avec un logiciel la fractale de Mandelbrot que l'on peut voir sur l'image ci-dessous.

Cette démarche est une version simplifiée de ce qu'on peut trouver par ailleurs sur le sujet (on a volontairement ici écarté les notions de nombre complexe et de programmation).

Pour une introduction générale au sujet des fractales, on pourra consulter cette page du site.

Les notations utilisées

fractale de Mendelbrot avec axes et coordonnées

On se place dans le plan repéré comme dans l'image ci-dessus. Chaque pixel de l'image représente un point P de coordonnées (a;b). Le but de l'activité est de déterminer la couleur qui doit être utilisée pour ce point.

Le travail à réaliser est constitué des deux parties ci-dessous.

Partie A. Utilisation du tableur

Principe : Un point M(x;y) est initialement placé en (0;0), puis on recalcule sa position à chaque étape, en fonction de la position précédente (avec des formules qui ne seront pas expliquées ici). On obtient ainsi une succession de points M, dont on étudie l'éloignement par rapport à l'origine.

Travail à réaliser dans cette partie A : reproduire la feuille de calcul ci-dessous, en suivant les instructions données.

Prenons l'exemple pour lequel a=-0,5 et b=0,7. On indique dans la feuille de calcul les valeurs de a et b, et ensuite on procède par étapes :

Partie B. Détermination de la couleur d'un point

Suivant les valeurs obtenues dans la dernière colonne, on va déterminer la couleur du point de départ P(a;b).

Une couleur peut se caractériser par les 3 composantes RVB (rouge, vert, bleu), mais on va devoir utiliser ici un autre système de représentations des couleurs. Les trois composantes seront donc ici la teinte H (Hue en anglais), la saturation S, et la valeur V. Dans toute cette activité, seule la teinte H pourra varier, on aura donc toujours S=100 et V=100. Une teinte peut varier entre 0 et 360 (comme des angles en degrés).

Choix de couleurs avec le logiciel GIMP :
illustration au tableur du choix de couleur d'un pixel dans la fractale de Mandelbrot
Un outil en ligne pour le choix de couleurs :
illustration au tableur du choix de couleur d'un pixel dans la fractale de Mandelbrot

La détermination de la couleur associée au point P(-0,5;0,7) se fait donc ainsi :

Travail à réaliser dans cette partie B : modifier la feuille de calcul, et déterminer la couleur des points de départ suivants :

Un complément : générateur de fractale de Mandelbrot en html 5

Naviguer directement dans la figure ci-dessous en encadrant un rectangle avec la souris.
On peut aussi modifier les paramètres ci-dessous, et cliquer sur le bouton pour générer l'image.

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