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Une fractale : le flocon de Von Koch [avec devoir maison]

Le 21-12-2011. Dernière mise à jour le 18-11-2014.

Voici comment construire une suite de polygones appelés « Flocons de Von Koch » :

Flocon de Von Koch, étape 1

On note, pour tout entier \(n\) :

Travail à faire : partie A (périmètre)

  1. Présenter brièvement Helge von Koch (faire une recherche). On précisera en particulier sa nationalité.
  2. En quelle année a-t-il écrit son article « Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire » ?
  3. Retrouver en quelle langue étaient écrits les articles de Von Koch. On pourra consulter par exemple :
    • ce lien (document PDF) vers l'article original de Von Koch.
    • ce lien vers la revue scientifique contenant l'article orignial. Le contenu est malheureusement inaccessible en intégralité actuellement.
    • ce lien sur le site de l’éditeur Springer vers autre article de Von Koch publié deux ans plus tard et qui reprend le contenu de l'article original. Cliquer sur "Look inside"... car il ne s'agit pas d'acheter l'article !
  4. Montrer que la suite \((c_n)\) est une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 4. En déduire une expression de \(c_n\) en fonction de \(n\).
  5. Exprimer \(l_n\) en fonction de \(n\).
  6. En déduire que la suite \((p_n)\) est géométrique et préciser sa raison.
  7. Quelle est la limite de la suite \((p_n)\) ?
  8. [Cette question est à faire de façon intuitive seulement, car nous n’avons pas les connaissances pour définir précisément ce dont on parle] Si on imagine que le flocon de Von Koch \(F\) est en quelque sorte la figure limite des flocons \(F_n\), lorsque \(n\) tend vers l’infini, que vaudrait la longueur de \(F\) ?

Travail à faire : partie B (aire)

  1. Démontrer que \(A_1=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\).
  2. En remarquant que l’on construit \(F_{n+1}\) en ajoutant sur chaque côté de \(F_n\) un triangle équilatéral de côté \(l_{n+1}\) , démontrer l’égalité pour tout entier \(n\geqslant 1\) : \[A_{n+1}=A_n+\frac{3\sqrt{3}}{16}\times\left(\frac{4}{9}\right)^n.\]
  3. En déduire l’égalité pour tout entier \(n> 1\) : \[A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{16}\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^2+\dots+\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1} \right].\] (On pourra utiliser une démonstration par récurrence).
  4. En déduire l’égalité pour tout entier \(n\geqslant 1\) : \[A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{20}\left[1-\left(\frac{4}{9} \right)^{n-1} \right].\]
  5. Quelle est la limite de \((A_n)\), lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) ? Pourquoi pouvait-on s’attendre cette fois à une limite finie ?
  6. [Cette question est à faire de façon intuitive seulement] Quelle pourrait être l’aire du flocon \(F\) ?

Pour aller plus loin concernant les fractales

Voir cet article sur le site.

P.S. Au sujet du périmètre du flocon de Von Koch \(F\)