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Cryptographie [avec devoir maison]

Le 03-01-2011. Dernière mise à jour le 02-01-2013.

Le cryptage consiste à rendre un message illisible par une personne indésirable. Par exemple, avec le message secret "BONJOUR A VOUS", on peut remplacer chaque lettre par la suivante dans l’ordre alphabétique, et on obtiendra le message crypté "CPOKPVS B WPVT". Cette méthode s’appelle le « chiffrement par décalage ». On pense qu’elle a été utilisée par Jules César dans ses correspondances secrètes.

Le problème de cette méthode est qu’il est assez facile de deviner comment décrypter. Ici, il suffit de décaler les lettres de l’alphabet dans l’autre sens. Il est donc indispensable d’adopter des méthodes plus performantes. C’est le domaine de la cryptographie (science du cryptage)

A ce sujet, on pourra lire cet article au format PDF [169 ko] (extrait de la brochure l’Explosion des mathématiques). L’auteur, Jean-Louis Nicolas, nous explique dans des termes accessibles les enjeux de la cryptographie, et l’importance des mathématiques dans ce domaine.

Travail à faire

Lire l’article ci-dessus, et répondre aux questions suivantes :

  1. Décrypter le message suivant, qui a été crypté par la méthode de chiffrement par décalage : DF NFTTBHF FUBJU GBDJMF B USPVWFS.
  2. Expliquer pourquoi le nombre 91 n’est pas un nombre premier (on pourra donner ses diviseurs).
  3. Combien de chiffres possédait le nombre N qui intervenait dans le secret de fabrication des cartes bancaires depuis 1985 ?
  4. Expliquer le problème qui est apparu quelques années plus tard.
  5. Durant la deuxième guerre mondiale, quel camp utilisait des machines Enigma, et à quoi cela servait-il ? Cet usage s’est-il montré satisfaisant ?
  6. Imaginons la situation suivante : deux personnes, Emma et Nathan, ne se connaissent pas et ne se sont jamais vues. Emma veut recevoir des messages secrets de Nathan (avec la méthode de cryptographie RSA). Emma fabrique donc ses deux "clés" : la clé de cryptage, et la clé de décryptage. Quelle clé doit-elle transmettre à Nathan pour que celui-ci puisse crypter son message ? Est-ce gênant si une personne mal intentionnée (quelle nous appellerons Lucas) intercepte la clé qu’Emma a transmise à Nathan, et les messages que Nathan envoie à Emma ?
  7. Quelle leçon concernant la recherche mathématique nous apportent les méthodes comme la méthode RSA ?
  8. Des connaissances du domaine de la géométrie peuvent-elles être utilisées en cryptographie ?
  9. Que pourrait-il se passer si une organisation criminelle arrivait, dans le plus grand secret, à fabriquer un ordinateur quantique ? Que peut-on essayer de faire pour éviter cela ?

P.S. Voici le lien vers le logo de cet article.