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Codes correcteurs [avec devoir maison]

Le 28-12-2010. Dernière mise à jour le 14-11-2014.

On constate généralement qu'un CD rayé peut encore fonctionner. Comment est-ce possible ? Grâce aux mathématiques et aux codes correcteurs.

Le lecteur intéressé pourra se reporter à cet article au format PDF, extrait de la brochure l’Explosion des mathématiques. On y explique que les mathématiques permettent de « réparer » une rayure d’environ 2 millimètres.

Travail à faire

Lire l’article ci-dessus, et répondre aux questions suivantes à l'aide des informations de l'article ou en effectuant des recherches complémentaires.

A. Codage et transmission d'informations numériques.

  1. Donner des exemples d’informations échangées à travers la planète sous forme de nombres.
  2. Étude d'un exemple de codage.
    Dans le document, on explique qu'avec le code ASCII, le B majuscule est codé (en base 2) par la suite de nombres 01000010. Faire une recherche pour trouver la suite de nombres qui permet de coder le G majuscule.
  3. Expliquer à partir d’un exemple pourquoi il peut y avoir des erreurs dans la transmission d'informations numériques.

B. Premier exemple de code correcteur : le code à triple répétition.

  1. Qu'est-ce qu'un « message redondant » ? En quoi cela intervient-il dans le principe des codes correcteurs ?
  2. Voici un message qui a été envoyé avec un code à triple répétition, qui a subi une seule erreur dans la transmission et qui a été reçu ainsi : 000111010111. Expliquer où se trouve l'erreur, puis corriger cette erreur, et indiquer quel était le message de départ (sans la triple répétition).
  3. Quel est le défaut de ce code à « triple répétition » ?

C. Les connaissances des années 1950.

  1. Quel père de la théorie de l’information est cité dans l’article, et a démontré qu’il existe de très bons codes correcteurs d’erreurs ? Indiquer aussi sa profession et sa nationalité.
  2. Les codes de Hamming ont-ils été beaucoup utilisés ? Etaient-ils performants ? (Répondre en citant l'article).

D. Deux domaines des mathématiques qui interviennent dans les codes correcteurs.

  1. Des codes faisant appel à l'algèbre.
    Sachant que tout nombre pair peut s’écrire sous la forme 2p, où p est un entier, et que tout nombre impair peut s’écrire sous la forme 2q+1, où q est un nombre entier, démontrer (en faisant un peu de calcul littéral) que la somme d’un nombre pair et d’un nombre impair est un nombre impair. Démontrer ensuite que le produit d’un nombre pair par un nombre impair est un nombre pair.
  2. Des codes faisant appel à la géométrie.
    Quelle courbe étudiée dans le programme de mathématiques de seconde est citée dans la dernière page de l'article ?

P.S.

Pour une rapide introduction à l’algèbre et aux corps finis, on pourra se reporter à cet article.