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Caustique par réflexion [avec devoir maison]

Le 12-06-2011. Dernière mise à jour le 03-01-2013.

Si on regarde une tasse éclairée par le soleil en début ou en fin de journée, on peut parfois voir un motif lumineux au fond. Le bord de ce motif forme une courbe C, appelée caustique par réflexion. Comment peut s’expliquer ce phénomène ?

Fond de tasse éclairée par le soleil

Construction

Nous allons effectuer une modélisation mathématique à l’aide du logiciel Geogebra. On considère que la tasse est représentée par un cercle, et que les rayons lumineux (BM] qui arrivent sur la tasse sont parallèles. (C’est raisonnable car le soleil est très éloigné).

Pour construire chaque rayon réfléchi (MN), on utilise une règle d’optique appelée règle d’incidence. On construit la droite tangente au cercle en M (qui n’est pas représentée ici), puis la droite perpendiculaire en M à cette tangente, c’est-à-dire la droite (OM). Ensuite, il doit y avoir égalité des angles \(\widehat{BMO}\) et \(\widehat{OMN}\), ce qui signifie que la droite (MN) est symétrique de la droite (BM) par rapport à (OM).

Construction de caustique (début)

Ensuite, il reste à activer la trace de (MN), et à déplacer le point M, pour représenter l’ensemble des rayons lumineux. Ces rayons s’accumulent le long de la courbe C qui est observée.

Image finale

Construction de caustique (image finale)

En fait, chaque rayon réfléchi est tangent à la courbe C en un point. On dit alors que C est une enveloppe de la famille de droites (MN). (Il est tout à fait possible dans cet exemple d’obtenir une représentation paramétrique de la courbe C, mais cela dépasse les objectifs de cet article, et les connaissances de lycée.)

Travail à faire

Dans un fichier fichier Geogebra,