logo autourdesmaths.fr Autour des maths

7=0, introduction à l’algèbre et aux corps finis

Le 27-12-2010. Dernière mise à jour le 09-11-2014.

Les nombres entiers naturels

Image des premiers nombres entiers

Lorsqu'on compte avec les nombres entiers naturels, on imagine que l’on avance, pas après pas, le long d’une ligne droite. On peut toujours aller un peu plus loin, et on ne revient jamais en arrière. Autrement dit, il y a une infinité de nombres entiers naturels.

Et s'il n'y avait que quelques nombres ?

Que se passerait-il si on décidait de compter cette fois avec un nombre fini de nombres entiers ? Prenons par exemple sept nombres seulement. On les écrirait alors 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, et ensuite il n’y aurait pas de nouveau nombre. Alors on reviendrait au tout début. Ainsi, après 6, ce serait 0, puis 1, puis 2, etc. En quelque sorte, on compterait « en boucle ». (Cela revient à considérer que 7=0, 8=1, 9=2, 10=3, etc.) Serait-ce possible, ou bien y aurait-il une contradiction quelque part ?

Image des nombres entiers de 0 à 6, disposés en cercle

Voyons déjà s’il est possible d’additionner deux nombres. Pour 1+3, évidemment ce serait 4. Mais pour 5+3 ? Normalement, cela donnerait 8, mais on a vu que 8=1, on écrirait donc 5+3=1. De cette façon, on peut construire la table d’addition suivante :

+ 0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 0
2 2 3 4 5 6 0 1
3 3 4 5 6 0 1 2
4 4 5 6 0 1 2 3
5 5 6 0 1 2 3 4
6 6 0 1 2 3 4 5

Pour l’instant, il n’y a aucun problème. Et pour la multiplication ? On procèderait de la même façon. Par exemple pour 5x3, qui normalement vaut 15, on écrirait ici que 15, c’est 7+7+1. Or on a vu que 7=0, donc 15=0+0+1. Ce qui nous donnerait 5x3=1. Pour 4x6, on trouve normalement 24. Or 24=7+7+7+3, ce qui nous donnerait donc 4x6=3. On s’aperçoit que les multiples de 7 jouent un rôle très important, et valent tous 0 ici. On obtiendrait alors la table de multiplication :

x 0 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6
2 0 2 4 6 1 3 5
3 0 3 6 2 5 1 4
4 0 4 1 5 2 6 3
5 0 5 3 1 6 4 2
6 0 6 5 4 3 2 1

L'algèbre : une branche des mathématiques

Que faut-il vérifier pour savoir si tout cela est possible ? De quoi a-t-on besoin pour pouvoir manipuler de tels nombres avec leurs opérations ? En fait, il faut s’interroger sur ce qu’est une addition, une multiplication en général (pas seulement avec les nombres entiers que l’on utilise depuis notre plus jeune âge).

On redécouvrira alors avec ce nouveau regard ce qu’on croyait connaître. Toute cette prise de recul concerne un domaine des mathématiques qui s’appelle l’algèbre. On commence à l’étudier généralement un an après le baccalauréat.

Mais revenons à notre problème. En fait, je peux vous assurer (mais c’est trop long pour être fait ici) que tout ce qui précède fonctionne très bien dans le cas de 7=0. Plus généralement, si p est un nombre premier qui joue le rôle de 7 ici, cela fonctionne tout aussi bien. Les ensembles de nombres ainsi considérés s’appellent en algèbre des corps finis. Les corps finis ont des applications importantes, en particulier dans le domaine des codes correcteurs d’erreurs (voir un autre article à ce sujet sur le site).

Vers l'arithmétique

Une remarque : ce qui a été fait précédemment fonctionnerait déjà moins bien avec 6 nombres entiers (au lieu de 7). Voici pourquoi. Comme on aurait dans ce cas l’égalité 6=0, on pourrait donc écrire que 2x3=0 (cette situation se produit justement car 6 n’est pas un nombre premier).

Image des nombres premiers inférieurs à 20

Comme 2x3=0, cela signifie donc qu'il existe deux facteurs non nuls, dont le produit est nul ! (La fameuse règle que l’on a l’habitude d’utiliser pour résoudre certaines équations ne s’applique plus ici...)

P.S. Mise à jour (16 janvier 2010). Je viens de m’apercevoir que le sujet avait déjà été traité ici. Promis, je n’ai pas copié.